内積は垂直であることを証明するために用いたり、長さの２乗を計算するために用いたりすることができます。「長さの２乗」をベクトルを用いて計算するというと遠回りという印象を持つ人もいるかも知れませんが、一般のベクトル空間では、長さは内積を用いて定義されます。直辺四面体についても触れています。
平面では、平行でない２直線は必ず交わりますが、空間では、平行でない２直線は必ずしも交わりません。直線と平面は必ず交わります。２直線の交点は、直線を含む平面と直線との交点に置き換えることができます。

動画
数Ｃ教科書解説「空間図形と内積〜平面の常識は空間の非常識？〜」
https://youtu.be/CLCFuXLhKq0